第一百六十二章 两个早交卷的人

最后一题是这个试卷中最有意思的一道题，也不是原来教材中有的，题目的内容是：

　　阿基里斯是希腊传说中最善于跑步的神，速度是每秒20米；海龟则是人间最缓慢的几种动物之一速度是每秒钟2米。一天一只海龟和阿基里斯进行了一场赛跑。

　　乌龟从阿基里斯前方100米的位置开始。假设阿基里斯现在的位置是A，海龟的位置是T，为了追上海龟阿基里斯必须先到T的位置。

　　当阿基里斯到达T的时候，海龟已经到达了前方10米T1;当阿基里斯到达T1的时候，海龟已经到达了再前方1米T2；以此类推。

　　当阿基里斯到达海龟之前的位置时，海龟多少会向前爬出一段距离，所以可以得出结论，阿基里斯是永远追不上乌龟的。

　　问：请沿着题目所说的思路判断，论证阿基里斯永远追不上海龟的结论是否正确？如果阿基里斯能够追上乌龟，追上时候的距离是多少？

　　姜听云看完了最后一题，不禁一笑，心道：这个题不是古希腊数学家芝诺的那个著名的“追龟”诡辩题吗？

　　这道题如果用小学生的思路去解决，只需要计算100/（20-2）*20就可以计算出追上时候的距离是1000/9。但是如果用极限概念的思路解题就麻烦多了。

　　姜听云想了一下，提笔在试卷上写道：

　　1，按照题目中的思路，追上时候的距离S=100+10+1+1/10+……

　　要证明这个无限数列的结果是个有限值，第一步要推理出等比公式。

　　Sn=a+aq+aq2+……+aqn-1

　　在公式左右同乘以q，得出：q.Sn=aq+aq2+……+aqn

　　两个公式互减，得出（1-q）. Sn=a-aqn=a.（1-qn）

　　则Sn= a.（1-qn）/（1-q）

　　2，第二步，要推导q介于0-1中间时候，n趋于无限大时候的另一个公式。

　　Sn = a+aq+aq2+……+aqn-1+……= lim（n→+∞）a.（1-qn）/（1-q）

　　当n无限大的时候，Sn =a/（1-q）

　　阿基里斯追上海龟的距离是由无限个逐渐缩小的距离组成的，但是这些距离的总和却是有限的，这个就是数学中的极限学科的知识，由此也可以得出结论：阿基里斯是可以追上海龟的。

　　3，将S=100+10+1+1/10+……代入已经推导出的公式得出